2022-10-06 13:50:00
理解矩阵乘法 [https://www.ruanyifeng.com/blog/2015/09/matrix-multiplication.html]
线性代数：矩阵到底是什么 Linear Algebra: What matrices actually are [https://nolaymanleftbehind.wordpress.com/2011/07/10/linear-algebra-what-matrices-actually-are/]
矩阵的逆是一个重要的线性代数概念，它指的是一个方阵（即行数和列数相等的矩阵）乘以它的逆矩阵结果为单位矩阵。单位矩阵是一个主对角线上全是1，其余位置全是0的方阵，类似于数字1在矩阵形式中的表示。
设 ( A ) 是一个 ( n \times n ) 的方阵，如果存在另一个 ( n \times n ) 的矩阵 ( A^{-1} )，使得： [ AA^{-1} = A^{-1}A = I ] 其中 ( I ) 是 ( n \times n ) 的单位矩阵，则我们称 ( A^{-1} ) 为矩阵 ( A ) 的逆矩阵。
不是所有的矩阵都有逆矩阵。只有满足特定条件的矩阵才具有逆矩阵，这些条件包括：
如果矩阵 ( A ) 有逆矩阵，我们说矩阵 ( A ) 是可逆的或者非奇异的。
求逆矩阵的方法之一是使用伴随矩阵和行列式。对于一个可逆矩阵 ( A )，它的逆矩阵可以通过以下公式计算： [ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) ] 其中，( \text{det}(A) ) 是矩阵 ( A ) 的行列式，( \text{adj}(A) ) 是 ( A ) 的伴随矩阵，伴随矩阵是由原矩阵中每个元素的代数余子式按照一定规则排列组成的矩阵。
在计算机科学和工程领域，通常会使用数值计算库来求逆矩阵，因为手动计算逆矩阵不仅耗时，而且容易出错，特别是对于大型矩阵。在 Python 中，可以使用 NumPy 库来轻松求得矩阵的逆：
import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_inv = np.linalg.inv(A)
矩阵的逆在许多领域都有应用，包括解线性方程组、控制理论、信号处理等。
单位矩阵（Identity Matrix），通常表示为 ( I ) 或 ( I_n )（其中 ( n ) 是矩阵的维度），是一个主对角线上的元素全为1，其余元素全为0的方阵。单位矩阵具有以下几个基本特性：
维度特性：单位矩阵是一个 ( n \times n ) 的方阵，其中 ( n ) 可以是任意正整数。
主对角线特性：单位矩阵的主对角线上的元素都是1，即如果 ( I ) 是单位矩阵，那么 ( I_{ii} = 1 ) 对于所有 ( i )（1 ≤ ( i ) ≤ ( n )）成立。
非对角线元素特性：单位矩阵的非对角线元素都是0，即如果 ( I ) 是单位矩阵，那么 ( I_{ij} = 0 ) 对于所有 ( i \neq j )（1 ≤ ( i, j ) ≤ ( n )）成立。
乘法特性：单位矩阵在矩阵乘法中起到与数字1在普通乘法中相同的作用。对于任何 ( n \times n ) 的矩阵 ( A )，都有 ( AI = IA = A )。
逆矩阵特性：任何 ( n \times n ) 的可逆矩阵 ( A ) 与其逆矩阵 ( A^{-1} ) 相乘的结果是单位矩阵，即 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I )。
行列式特性：单位矩阵的行列式值为1，即 ( \text{det}(I) = 1 )。
迹特性：单位矩阵的迹（所有对角线元素的和）等于矩阵的维度，即 ( \text{tr}(I) = n )。
矩阵指数特性：单位矩阵的任何非零整数次幂仍然是单位矩阵，即 ( I^k = I ) 对于任何整数 ( k )。
线性变换特性：在向量空间中，单位矩阵表示的是恒等变换，即不改变任何向量的值。
单位矩阵在矩阵代数中非常重要，因为它是许多矩阵运算的基础，并且在求解线性方程组、矩阵分解和矩阵函数等领域中扮演关键角色。
DeepMind攻克50年数学难题，史上最快矩阵乘法算法登Nature封面：https://www.cnbeta.com/articles/tech/1324285.htm
《Discovering faster matrix multiplication algorithms with reinforcement learning》https://www.nature.com/articles/s41586-022-05172-4.pdf
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